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高一年级数学下学期期末试题

大家在学习数学的时候有很多是需要多阅读的哦,今天小编就给大家来分享一下高一数学,欢迎大家来收藏哦

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高一数学下期末试题带答案

第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.

1.某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为

A. 100 B. 150 C. 200 D.250

2.已知变量 与 正相关,且由观测数据算得样本平均数为 ,则由该观测数据得到的回归直线方程可能是

A. B. C. D.

3.设集合 ,则

A. B. C. D.

4.已知点 落在角 的终边上,且 ,则 的值为

A. B. C. D.

5.函数 的零点所在的一个区间是

A. B. C. D.

6.右图是求样本 平均数 的程序框图,图中空白框应填入的内容是

A. B. C. D.

7.已知直线 ,平面 ,且 ,给出下列四个命题:

①若 ,则 ;②若 ,则 ;

③若 ,则 ;④ ,则 .

其中正确命题的个数是

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

8.光线沿直线 射到直线 上,被 反射后的光线所在直线的方程为

A. B . C. D.

9.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的值是

A. 2 B. C. D. 3

10.已知P是边长为2的正三角形ABC的BC上的动点,则

A. 有最大值8 B. 有最小值2 C. 是定值6 D.与P点的位置有关

11.已知函数 的图象的一部分如左图,则右图的函数图象所对应的函数解析式为

A. B.

C. D.

12.函数 的定义域为 ,其图象上任意一点 满足 ,给出以下四个命题:①函数 一定是偶函数;②函数 可能是奇函数;③函数 在 上单调递增;④若函数 是偶函数,则其值域为 ,其中正确的命题个数为

A.1个 B. 2个 C. 3个 D.4个

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

13.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出S的值为 .

14.在如图所示的方格纸上,向量 的起点和终点均在格点(小正方形的顶点)上,若 与 ( 为非零实数)共线,则 的值为 .

15.已知直线 与圆心为C的圆 相交于A,B两点, 为等边三角形,则实数 .

16.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使 的最大边是AB” 发生的概率为 ,则 .

三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17.(本题满分10分)已知函数

(1)求函数 的定义域;

(2)讨论函数 的奇偶性.

18.(本题满分12分)

某实验室一天的温度(单位: )随时间(单位: )的变化近似满足函数关系:

(1)求实验室这一天的最大温差;

(2)若要求实验室温度不低于 ,则在哪段时间实验室需要降温?

19.(本题满分12分)

某产品的三个质量指标分别为 ,用综合指标 评价该产品的等级.若 ,则该产品为一等品,现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;

(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品.

①用产品编号列出所有可能的结果;

②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.

20.(本题满分12分)已知向量

(1)若 ,求证: ;

(2)设 ,若 ,求 的值.

21.(本题满分12分)如图,在四棱锥 中, 平面 ,

(1)求证: ;

(2)求点A到平面PBC的距离.

22.(本题满分12分)

已知圆 上存在两点关于直线 对称.

(1)求实数 的值;

(2)若直线 与圆C交于A,B两点, (O为坐标原点),求圆C的方程.

参考答案及评分标准

一.选择题(每小题5分,共60分)

1-5 ABCDB 6-10 ACBDC 11-12 BA

二.填空题(每小题5分,共20分)

13. -3; 14. ; 15. ; 16. .

三.解答题(17小题10分,其余每小题12分,共70分)

17.(本小题满分10分)

解:(Ⅰ)

∴定义域是 .--------------------------------------3分

(Ⅱ)∵

∵定义域关于原点对称,∴ 是偶函数 ----------------------10分

18.(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)因为 ,-----3分

又 ,所以 , .

当 时, ;当 时, ;

于是 在 上取得最大值12,取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为 ,最低温度为 ,最大温差为 .---------7分

(Ⅱ)依题意,当 时实验室需要降温.

由(Ⅰ)得 ,

所以 ,即 .

又 ,因此 ,即 ,

故在10时至18时实验室需要降温. -------------------------12分

19.(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)计算10件产品的综合指标S,如下表:

产品编号

4 4 6 3 4 5 4 5 3 5

其中S≤4的有 , , , , , ,共6件,

故该样本的一等品率为 ,

从而可估计该批产品的一等品率为 . ----------------------------------6分

(Ⅱ)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为 , , , , , , , , , , , , , , ,共15种. ------------8分

②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为 , , , ,则事件B发生的所有可能结果为 , , , , , 共6种。

所以 . -----------------------------------12分

---------------------------12分

21.(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)因为PD⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,所以PD⊥BC.----------------2分

由∠BCD=90°,得BC⊥DC,

又PD DC=D,PD 平面PCD,

DC 平面PCD,所以BC⊥平面PCD.

因为PC 平面PCD,所以PC⊥BC.-------------------------6分

(Ⅱ)连结AC.设点A到平面PBC的距离为h.

因为AB∥DC,∠BCD=90°,所以∠ABC=90°.

从而由AB=2,BC=1,得 的面积 .

由PD⊥平面ABCD及PD=1,得三棱锥P-ABC的体积 .----------8分

因为PD⊥平面ABCD,DC 平面ABCD,所以PD⊥DC.

又PD=DC=1,所以 .

由PC⊥BC,BC=1,得 的面积 . ------------------------10分

由 ,得 ,

因此,点A到平面PBC的距离为 . ------------------------------------12分

22.(本小题满分12分)

解:(Ⅰ)圆C的方程为 圆心C(-1,0).

∵圆C上存在两点关于直线 对称,

∴直线 过圆心C. -------------------------------------3分

∴ 解得 =1. -------------------------------------5分

(Ⅱ)联立 消去 ,得

.

设 ,

. ----------------------------------------7分

由 得

. -----------------9分

∴OA→•OB→= .

∴圆C的方程为 . ------------------------------12分

高一数学下期末联考考试试题

第Ⅰ卷

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知两直线m、n和平面α,若m⊥α,n∥α,则直线m、n的关系一定成立的是

(A)m与n是异面直线 (B)m⊥n

(C)m与n是相交直线 (D)m∥n

(2) 已知数据x1,x2,x3,…,xn是普通职工n(n≥3,n∈N*)个人的年收入,设这n个数据的中位数为x,平均数为y,方差为z,如果再加上世界首富的年收入xn+1,则这n+1个数据中,下列说法正确的是

(A)年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变

(B)年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大

(C)年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变

(D)年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变

(3) 若直线l1:mx﹣3y﹣2=0与直线l2:(2﹣m)x﹣3y+5=0互相平行,则实数m的值为

(A) 2 (B)﹣1

(C)1 (D)0

(4) 利用计算机在区间( ,2)内产生随机数a,则不等式ln(3a﹣1)<0成立的概率是

(A) (B) (C) (D)

(5) 函数y=2cos2(x+ )-1是

(A)最小正周期为π的奇函数

(B)最小正周期为 的奇函数

(C)最小正周期为 的偶函数

(D)最小正周期为π的偶函数

(6) 已知程序框图如图所示,如果上述程序运行的结果为S=132,那么

判断框中应填入

(A)k<11? (B)k<12?

(C)k<13? (D)k<14?

(7) 已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)的对应表:

x 1 2 3 4 5 6

f(x) -8 2 ﹣3 5 6 8

则函数f(x)存在零点的区间有

(A)区间[2,3]和[3,4] (B)区间[3,4]、[4,5]和[5,6]

(C)区间[2,3]、[3,4]和[4,5] (D)区间[1,2]、[2,3]和[3,4]

(8) 函数 的单调递减区间是

(A)(1,+∞) (B)(﹣1,1]

(C)[1,3) (D)(﹣∞,1)

(9) 若函数f(x)=3ax﹣k+1(a>0,且a≠1)过定点(2,4),且f(x)在定义域R内是增函数,则函数

g(x)=loga(x-k)的图象是

(A) (B) (C) (D)

(10) 如果圆x2+y2+2m(x+y)+2 m2-8=0上总存在到点(0,0)的距离为 的点,则实数m的取值范围是

(A)[﹣1,1] (B)(﹣3,3)

(C)(﹣3,﹣1)∪(1,3) (D)[﹣3,﹣1]∪[1,3]

(11) 同时具有性质:①图象的一个零点和其相邻对称轴间的距离是 ;②在区间[﹣ , ]上是增函数

的一个函数为

(A)y=cos( + ) (B)y=sin( + )

(C)y=sin(2x﹣ ) (D)y=cos(2x﹣ )

(12) 定义在区间(1,+∞)内的函数f(x)满足下列两个条件:

①对任意的x∈(1,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立;

②当x∈(1,2]时,f(x)=2﹣x.

已知函数y=f(x)的图象与直线mx-y-m=0恰有两个交点,则实数m的取值范围是

(A)[1,2) (B)(1,2]

(C) (D)

第Ⅱ卷

二、填空题:本题共4小题,每小题5分。

(13) 设某总体是由编号为01,02,…,39,40的40个个体组成的,利用下面的随机数表依次选取4个个体,选取方法是从随机数表第一行的第三列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出来的第4个个体的编号为   .

0618 0765 4544 1816 5809 7983 8619

7606 8350 0310 5923 4605 0526 6238

(14) 设m∈R,向量 =(m+1,3), =(2,﹣m),且 ⊥ ,则| + |=     .

(15) 某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是  .

(16) 已知 ,则 =    .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分10分)

如图,在△ABC中,已知点D,E分别在边AB,BC上,且AB=3AD,BC=2BE.

(Ⅰ)用向量 , 表示 ;

(Ⅱ)设AB=6,AC=4,A=60°,求线段DE的长.

(18)(本小题满分12分)

某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生都参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为100分)作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:

频率分布表

组别 分组 频数 频率

第1组 [50,60) 8 0.16

第2组 [60,70) a ▓

第3组 [70,80) 20 0.40

第4组 [80,90) ▓ 0.08

第5组 [90,100] 2 b

合计 ▓ ▓

(Ⅰ)写出a,b,x,y的值;

(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动.

(i)求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率;

(ii)求所抽取的2名同学来自同一组的概率.

(19)(本小题满分12分)

如图,在平面直角坐标系xOy中,点P是单位圆上的动点,过点P作x轴的垂线与射线y= x(x≥0)交于点Q,与x轴交于点M.记∠MOP=α,且α∈(﹣ , ).

(Ⅰ)若sinα= ,求cos∠POQ;

(Ⅱ)求△OPQ面积的最大值.

(20)(本小题满分12分)

如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB= ,AF=1,M是线段EF的中点.

(Ⅰ)求证:AM∥平面BDE;

(Ⅱ)求二面角A﹣DF﹣B的大小.

(21)(本小题满分12分)

已知圆C经过点A(1,3),B(2,2),并且直线m:3x﹣2y=0平分圆C.

(Ⅰ)求圆C的方程;

(Ⅱ)若过点D(0,1),且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N.

(i)求实数k的取值范围;

(ii)若 • =12,求k的值.

(22)(本小题满分12分)

已知函数f(x)=( )x.

(Ⅰ)当x∈[﹣1,1]时,求函数y=[f(x)]2﹣2af(x)+3的最小值g(a);

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,是否存在实数m>n>3,使得g(x)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2]?若存在,求出m、n的值;若不存在,请说明理由.

参考答案及解析

一、选择题

(1)B (2)B (3)C (4)D (5)A (6)A (7)D (8)C (9)A (10)D (11)C (12)C

二、填空题

(13)09 (14) (15) (16)

三、解答题

(17)解:(Ⅰ)△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,且AB=3AD,BC=2BE,

∴ . (5分)

(Ⅱ)若AB=6,AC=4,A=60°,

= ×62+ ×6×4×cos60°+ ×42=7,

∴ ,

即线段DE的长为 . (10分)

(18)解:(Ⅰ)由题意可知,a=16,b=0.04,x=0.032,y=0.004. (4分)

(Ⅱ)由题意可知,第4组共有4人,记为A,B,C,D,第5组共有2人,记为X,Y.

从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学,则有AB,AC,AD,BC,BD,CD,AX,AY,BX,BY,CX,CY,DX,DY,XY,共15种情况. (6分)

(ⅰ)设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E,

则事件E包含AX,AY,BX,BY,CX,CY,DX,DY,XY,共9种情况.所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P(E)= .(9分)

(ⅱ)设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F,则事件F包含AB,AC,AD,BC,BD,CD,XY,共7种情况.

所以P(F)= . (12分)

(19)解:(Ⅰ)因为 ,且 所以 .

所以 . (5分)

(Ⅱ)由三角函数定义,得P(cosα,sinα),从而 ,

所以

.

因为 所以当 时,取等号,

所以△OPQ面积的最大值为 . (12分)

(20)解:(Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,如图,

∵O、M分别是AC、EF的中点,ACEF是矩形,

∴四边形AOEM是平行四边形.∴AM∥OE.

∵OE 平面BDE,AM 平面BDE,

∴AM∥平面BDE. (4分)

(Ⅱ)在平面AFD中,过A作AS⊥DF于S,连接BS,如图,

∵AB⊥AF,AB⊥AD,AD∩AF=A,

∴AB⊥平面ADF,

∴AS是BS在平面ADF上的射影,

由三垂线定理得BS⊥DF,

∴ 是二面角A-DF-B的平面角.

在Rt△ASB中,

∴tan = , =60°,

∴二面角A-DF-B的大小为60°. (12分)

(21)解:(Ⅰ)设圆C的标准方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2.

∵圆C被直线m:3x﹣2y=0平分,

∴圆心C(a,b)在直线m上,可得3a﹣2b=0. ①

又∵点A(1,3),B(2,2)在圆C上,

∴ ②

将①②联立,解得a=2,b=3,r=1.

∴圆C的方程是(x﹣2)2+(y﹣3)2=1. (4分)

(Ⅱ)(i) 过点D(0,1)且斜率为k的直线l的方程为y=kx+1,即kx﹣y+1=0.

∵直线l与圆C有两个不同的交点M、N,

∴点C(2,3)到直线l的距离小于半径r,

即 ,解得 .

∴实数k的取值范围是 . (8分)

(ii)由 消去y,得(1+k2)x2﹣(4+4k)x+7=0.

设M(x1,y1)、N(x2,y2),可得x1+x2= ,x1x2= ,

∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1= + +1,

∴ =x1x2+y1y2= + + +1=12,解得k=1.

此时k∈ ,成立,∴k=1. (12分)

(22)解:(Ⅰ)∵x∈[﹣1,1],∴f(x)=( )x∈[ ,3], (1分)

y=[f(x)]2﹣2af(x)+3=[( )x]2﹣2a( )x+3

=[( )x﹣a]2+3﹣a2. . (3分)

由一元二次函数的性质分三种情况:

若a< ,则当 时,ymin=g(a)= ; (5分)

若 ≤a≤3,则当 时,ymin=g(a)=3﹣a2; (6分)

若a>3,则当 时,ymin=g(a)=12﹣6a. (7分)

∴g(a)= (8分)

(Ⅱ)假设存在满足题意的m、n,

∵m>n>3,且g(x)=12﹣6x在区间(3,+∞)内是减函数, (9分)

又g(x)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],

∴ (10分)

两式相减,得6(m﹣n)=(m+n)(m﹣n),

∵m>n>3,∴m+n=6,但这与“m>n>3”矛盾, (11分)

∴满足题意的m、n不存在. (12分)

  高一数学下期末考试题带答案

第Ⅰ卷

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合P={x|﹣1

(A)(﹣1,2) (B)(0,1) (C)(﹣1,0) (D)(1,2)

(2)点 在直线 :ax﹣y+2=0上,则直线 的倾斜角为

(A)30° (B)45° (C)60° (D)120°

(3)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的

中位数相等,且平均值也相等,则 的值分别为

(A)3,5 (B)5,5 (C)3,7 (D)5,7

(4)若a= ,b=30.5,c=0.53,则a,b,c三个数的大小关系是

(A)a

(5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为

(A)60 (B)30 (C)20 (D)10

(6)设α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若 n⊂α,且A∈m,

A∈α,则m,n的位置关系不可能是

(A)垂直 (B)相交 (C)异面 (D)平行

(7)某程序框图如图所示,若输出的S=26,则判断框内应填

(A)k>3? (B)k>4? (C)k>5? (D)k>6?

(8)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,有人送来米1494石,检

验发现米内夹谷,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,则这批米内夹谷约为

(A)17石 (B)166石 (C)387石 (D)1310石

(9)为了得到函数y=sin(2x﹣ ),x∈R的图象,只需将函数y=sin2x,x∈R的图象上所有的点

(A)向左平移 个单位长度 (B)向右平移 个单位长度

(C)向左平移 个单位长度 (D)向右平移 个单位长度

(10)方程ex=2﹣x的根位于区间

(A)(﹣1,0)内 (B)(0,1)内 (C)(1,2) 内 (D)(2,3)内

(11)在平面直角坐标系xOy中,以(﹣2,0)为圆心且与直线 ( ∈R)相切的

所有圆中,面积最大的圆的标准方程是

(A)(x+2)2+y2=16 (B)(x+2)2+y2=20 (C)(x+2)2+y2=25 (D)(x+2)2+y2=36

(12)将函数f(x)=2sin2x的图象向左平移 个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在

区间[0, ]和[2a, ]上均单调递增,则实数a的取值范围是

(A) [ , ] (B)[ , ]

(C)[ , ] (D)[ , ]

第Ⅱ卷

二.填空题:本题共4小题,每小题5分。

(13)函数f(x)=ln(x2﹣2x﹣8)的单调递增区间是 .

(14)已知 与 均为单位向量,它们的夹角为120°,那么| +3 |= .

(15) 某校高一(1)班有男生28人,女生21人,用分层抽样的方法从全班学生中抽取一个调查小

组,调查该校学生对2017年1月1日起执行的新交规的知晓情况,已知某男生被抽中的概率

为 ,则抽取的女生人数为 .

(16)已知 则 = .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

(17)(本小题满分10分)

已知平面内三个向量 =(3,2), =(﹣1,2), =(4,1).

(Ⅰ)若( +k )∥(2 ﹣ ),求实数k的值;

(Ⅱ)设向量 =(x,y),且满足( + )⊥( ﹣ ),| ﹣ |= ,求 .

(18)(本小题满分12分)

某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图,其中成绩分组区间如下:

组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组

分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]

(Ⅰ)求图中a的值;

(Ⅱ)根据频率分布直方图,估计这100名学生期中考试数学成绩的平均分;

(Ⅲ)现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生,将该样本看成一个总体,从中随机抽取2名,求其中恰有1人的分数不低于90分的概率.

(19)(本小题满分12分)

已知函数f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx(ω>0)的最小正周期为π.

(Ⅰ)求f( )的值;

(Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间.

(20)(本小题满分12分)

如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PD= ,O为AC与BD的交点,E为棱PB上一点.

(Ⅰ)证明:平面EAC⊥平面PBD;

(Ⅱ)若PD∥平面EAC,求三棱锥P﹣EAD的体积.

(21)(本小题满分12分)

已知点P(2,0),且圆C:x2+y2﹣6x+4y+4=0.

(Ⅰ)当直线 过点P且与圆心C的距离为1时,求直线 的方程;

(Ⅱ)设过点P的直线与圆C交于A、B两点,若|AB|=4,求以线段AB为直径的圆的方程.

(22)(本小题满分12分)

某产品生产厂家根据以往销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(百台),其总成本为g(x)(万元),其中固定成本为2万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入R(x)(万元)满足 = 假设该产品产销平衡,试根据上述资料分析:

(Ⅰ)要使工厂有盈利,产量x应控制在什么范围内;

(Ⅱ)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多?

(Ⅲ)当盈利最多时,求每台产品的售价.

参考答案及解析

一、选择题

(1)A (2)C (3)A (4)C (5)D (6)D

(7)A (8)B (9)D (10)B (11)C (12)A

二、填空题

(13)(4,+∞) (14) (15)3 (16)

三、解答题

(17)解:(Ⅰ)因为 =(3,2), =(﹣1,2), =(4,1),

所以 +k =(3+4k,2+k),2 ﹣ =(﹣5,2).

又( +k )∥(2 ﹣ ),

所以2(3+4k)+5(2+k)=0,解得 (4分)

(Ⅱ)因为 =(x,y),且满足( + )⊥( ﹣ ),| ﹣ |= ,

又 =(2,4), =(x﹣4,y﹣1),

所以 ,解得 或 .

所以 =(6,0)或者(2,2).(10分)

(18)解:(Ⅰ)由题意得,10 +0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1,所以 =0.005.(2分)

(Ⅱ)由直方图可知,分数在[50,60)的频率为0.05,[60,70)的频率为0.35,[70,80)的频率为0.30,[80,90)的频率为0.20,[90,100]的频率为0.10,所以这100名学生期中考试数学成绩的平均分的估计值为55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74. 5 . (6分)

(Ⅲ)由直方图得,

第3组的人数为0.3×100=30人,第4组的人数为0.2×100=20人,第5组的人数为0.1×100=10人.

所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名,

第3组应抽取 人,第4组应抽取 人,第5组应抽取 =1人.(8分)

设第3组的3名学生分别为 第4组的2名学生分别为 第5组的1名学生为 ,

则从6名学生中抽取2名的情况有

,共15种.

其中恰有1人的分数不低于90分的情况有 共5种.(10分)

所以其中恰有1人的分数不低于90分的概率P= .(12分)

(19)解:(Ⅰ)由题得,

f(x)=2cos2ωx+2sinωxcosωx=cos2ωx+sin2ωx+1= sin(2ωx+ )+1,

因为f(x)的最小正周期为π,所以 =π,解得ω=1,

所以f(x)= sin(2x+ )+1.(4分)

则f( )= sin( + )+1= (sin cos +cos sin )+1= .(6分)

(Ⅱ)由2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ,得 kπ﹣ ≤x≤kπ+ ,

所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ﹣ ,kπ+ ] .(12分)

(20)解:(Ⅰ)∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,

∴AC⊥PD.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.(2分)

又PD∩BD=D,∴AC⊥平面PBD.(3分)

而AC⊂平面EAC,∴平面EAC⊥平面PBD.(5分)

(Ⅱ)∵PD∥平面EAC,平面EAC∩平面PBD=OE,

∴PD∥OE,

∵O是BD的中点,∴E是PB的中点.

取AD的中点H,连接BH .(7分)

∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,

∴BH⊥AD.又BH⊥PD,AD∩PD=D,∴BH⊥平面PAD, .(9分)

∴ = = .(12分)

(21)解:(Ⅰ)由题知,圆C的标准方程为(x﹣3)2+(y+2)2=9.

①设直线 的斜率为k(k存在),

则直线方程为y﹣0=k(x﹣2),即kx﹣y﹣2k=0.

又圆C的圆心为(3,﹣2),

所以直线方程为 ,即3x+4y﹣6=0;(4分)

②当斜率k不存在时,直线 的方程为x=2,满足题意.

综上所述,直线 的方程为3x+4y﹣6=0或x=2.(6分)

(Ⅱ)由于|CP|= ,而弦心距 ,即 |CP|= ,

所以点P恰为线段AB的中点,

则所求圆的圆心为P(2,0),半径为 |AB|=2,

故以线段AB为直径的圆的方程为(x﹣2)2+y2=4.(12分)

(22)解:(Ⅰ)由题意,得g(x)=x+2,

设利润函数为f(x),

则f(x)=R(x)﹣g(x)= ,

由f(x)>0,解得1≤5或5

即1

故要使工厂有盈利,产量x应控制在100台到820台内.(4分)

(Ⅱ)当0≤x≤5时,f(x)=﹣0.4(x﹣4)2+3.6,

即当x=4时有最大值3.6;

当x>5时,f(x)<8.2﹣5=3.2.

故当工厂生产400台产品时,可使盈利最多为3.6万元.(8分)

(Ⅲ)当x=4时,

R(4)=9.6(万元), =2.4(万元/百台),

故盈利最多时,每台产品的售价为240元.(12分)


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