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等差数列前n项和公式推导（等差数列前几项的和的公式）

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我们不要关心求数列n项和的问题会不会在高考题或有关考试题中出现，当然出现的机会确是很高的。关键的是通过学习和探讨求数列前n项和的方法去领悟学习和思考的方法。几种求和的方法把数学变形和分析、归纳总结、化繁为简、化难为易等思想融合在一起，使思维得到一次系统的训练和提高。头脑的开化和思维的提升才是学习的主要目的。

求数列前n项的和，通常有下列七种方法和技巧。

一、利用等差数列和等比数列的求和公式例1、求数列

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第2张
高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第4张

例2、求数列5, 55，555，5555，…，

，……的前项和。

解：∵

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第6张

∴

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第8张高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第10张

二、用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式的方法是倒序相加法。这个方法可以类推到一般，只要前n项具有与两端等距离项的和相等的数列这种特征都可用这种方法求和。例3、已知

是等差数列，求和

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第12张

解：∵ ①

即

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第14张

②

由①+②，得：

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第16张

∵

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第18张

∴

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第20张

由等差数列的性质，易得：

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第22张

故

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第24张

于是

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第26张

三、利用错位相减法错位相减法是一种常用的数列求和方法，主要应用于等比数列与等差数列相乘的形式。形如

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第28张

，其中

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第30张

为等差数列，

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第32张

为等比数列，公比为q；列出

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第34张

，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第36张

；然后错一位，两式相减即可。例4、求数列

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第38张

的前n求和(x≠0，x≠1)。解：设

高中数学：求数列前n项和的七种方法和技巧 第40张

①则

②

由①-②，得：

于是

四、用化差相减法适用于分式形式的通项公式，基本原理是把一项拆成两个或多个的差的形式，即

，然后累加时中间的许多项可以抵消。裂项凑错位相加特征，注意前后式子相等，如果不相等就要乘以一个系数。

常用公式：

六、用数学归纳法例9、求数列

的前n项和。解：

从而 假设

，则

于是 由数学归纳法，可知

例10、是否存在常数a，b，c，使得等式：

对一切自然数n都成立？并证明你的结论。

解：假设存在a，b，c ，使题中等式成立，则

当n=1时，有

，当n=2时，有

，当n=3时，有

。从而有

解之，得 a=3， b=11, c=10（提示： 此处用待定系数法求a, b , c值，可见待定系数法的重要）

于是 当n=1, 2, 3时下列等式成立

记

设 n=k时，

，则

于是 当n=k+1时等式也成立。

故 当a=3, b=11, c=10时，题设的等式对一切的自然数n都成立。

七、利用自然数方幂和公式此法是通项式展开将同次方幂合并以便用常用的自然数方幂和公式求和常用的自然数方幂有：

例11、求和。 解：∵

总结：为了使利用自然数方幂公式更加熟练需记住常用的自然数方幂。一般要先对通项式展开进行同次方幂合并。

--END--

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